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ケリー基準 — 数学的に最適な比率が実戦では常に大きすぎる理由

ケリー基準の「最適」は、長期の複利成長率が最大になる一点を指します。その点にぴたりと立つには勝率と損益比を正確に知る必要がありますが、トレードでは両方とも推定値であり、少し甘めに見積もられただけで過大ベットになります。そのため実戦では half-kelly 以下に削って使います。

> ケリーの「最適」は、長期の複利成長率が最大になる一点を指します。その比率にぴたりと合わせるには勝率と損益比を正確に知る必要がありますが、トレードでは両方とも常に推定値です。

ケリー基準は、1956年にベル研究所のジョン・ケリー(John Kelly)が通信路の情報伝送率を研究するなかで導いたベット比率です。一度のベットに資産の何パーセントを賭けるのが、資産の長期成長率を最も速く伸ばすのかを問い、その答えが一行の式で出てきます。勝率を p、負率を q=1−p、損益比(勝てば得る金額と負ければ失う金額の比)を b とすると、最適比率は f* = p − q/b です。勝率55%、損益比1.5なら f* = 0.55 − 0.45/1.5 = 0.25、つまり資産の25%を一度に賭ける値になります。

世間ではこの式が「数学が証明した最適なベットサイズ」として受け取られています。25%という数字が出れば、その比率で賭けるのが最も速い道だと読むわけです。ところがケリーが最大化する対象は、対数資産の期待値、すなわち複利成長率です。一回の*期待リターン*ではありません。この点はほとんど語られません。

このように解釈すると、その代償が資産曲線にそのまま現れます。full-Kelly の比率で賭ける口座は、成長率は最も高いものの、ボラティリティとドローダウンもともに極端に大きくなります。そして決定的なのは、f* の計算に入れた p と b が実際の値より少し甘めに見積もられているだけで、25%はそのまま過大ベットになるという点です。この記事を読み終えると、自分のシステムのケリー比率を計算したとき、その数字を目標にせず、絶対に超えてはならない上限として見るようになります。

ケリーが最大化する対象は複利成長率です

ケリー基準は、一回の期待利益を伸ばす問題を解いてはいません。期待利益だけを伸ばすのなら、勝率が50%を超えさえすれば毎回全財産を賭けるのが答えになります。ケリーが探すのは、同じベットを無限に繰り返したとき口座が最も速く膨らむ比率、つまり対数資産の期待値を最大化する比率です。

この区別が重要なのは、複利では一度の大きな損失が成長率全体を引き下げるからです。50%の損失を回復するには100%のリターンが必要です。そのためケリーの頂は左右が非対称です。頂の左側(過小ベット)では成長率がゆるやかに減りますが、頂の右側(過大ベット)ではボラティリティ損失が積み重なり、成長率が速くマイナスへ落ちていきます。単純なベルヌーイベットの仮定で、ベット比率を full-Kelly の2倍に上げると、長期成長率はほぼ0になります。前述の勝率55%・損益比1.5のシステムで計算すると、full-Kelly のベット当たり成長率およそ0.0457が、2倍の比率では−0.004まで下がります。

BTCの事例でこの非対称性がはっきり見えます。2021年5月19日、BTCは日足始値の約42,850ドルから日中安値の30,000ドルまで、一日で約30%下げました。直前4月14日の高値が64,854ドルでしたから、高値からの下げはさらに深くなります。full-Kelly に近い比率でレバレッジを乗せた口座なら、この一日で口座は成長率曲線の急な右側区間へ押し出されます。ケリー比率を計算したなら、その比率が頂の頂点に当たることをまず確認してください。頂点を越えてさらに賭けるほど、長期成長率はかえって減っていきます。

full-Kelly のドローダウンは大半のトレーダーが耐えられない深さです

full-Kelly の比率は、成長率を最大化する代償に、資産曲線のドローダウンを極端まで大きくします。full-Kelly で運用すると、資産の半分以上が消える最大ドローダウン(maximum drawdown)が珍しくありません。正確な期待ドローダウンはベット分布と取引頻度によって変わりますが、full-Kelly が深いドローダウンを前提とするという方向は明らかです。成長率曲線の頂点にぴたりと立っていても、資産曲線はこれほど険しくなります。

ドローダウンがこれほど深くなる理由は、ケリー基準がトレーダーの感じる心理的な苦痛をコストに数えないからです。式には対数資産の期待値だけが入ります。60%のドローダウンを経て結局は最高値を更新する経路と、20%のドローダウンでゆるやかに上がる経路が同じ終着点に到達するなら、ケリー基準は二つの経路を区別しません。しかしトレーダーにとって二つの経路はまったく異なる体験です。60%のドローダウン区間でシステムを疑って損切りしてしまえば、その瞬間に長期成長率の仮定は崩れます。

2022年11月のFTX破綻週を見ると、この違いがはっきりします。BTCは11月6日始値の約21,300ドルから、11月8日安値17,167ドル、11月9日安値15,588ドルまで、3営業日で約27%下げました。full-Kelly のサイジングを使っていた口座なら、この区間だけで数十パーセントが消え、そこに以前のドローダウンが重なっていれば、心理的にシステムを維持するのが難しいほど深いドローダウンに陥ります。ですからケリー比率をそのまま適用するか決める前に、その比率が生むドローダウンに耐えられるかをポジションサイジング(position sizing)の観点でまず点検してください。

f\* 一行は p と b が正確なときだけ最適です

ケリー基準の最大の落とし穴は、式の中に入る p と b を既知の定数とみなす点です。カジノのルーレットなら確率がルールで固定されているため、この仮定が成り立ちます。トレードでの勝率と損益比は過去データから推定した値であり、将来も同じである保証はありません。

推定誤差が危険なのは、f* の式が入力の誤差を増幅するからです。勝率を55%と見たのに実際が50%なら、q/b の項が大きくなって、計算された比率は実際の最適より大きい値になります。さらにケリーの頂の右側は急なので、頂点を少し越えただけで成長率は大きく削られます。推定を甘めに見積もれば、その代償を成長率曲線の急な区間で支払うことになります。バックテストの勝率はほぼ常に実取引より甘めに出ます。バックテストと実取引の乖離(backtest vs live)が損益比 b を縮めるからです。

2024年8月5日の円キャリー解消による急落が、この点をよく示しています。BTCは日足始値の約58,161ドルから安値49,000ドルまで、一日で約16%下げました。ふだん損益比を1.5と推定していたシステムでも、こうしたギャップ性の下落では損切りのスリッページにより、一度の負けの大きさが想定より大きくなります。負けの実際の大きさが大きくなれば b は縮み、b が縮めば適正なケリー比率も縮めるべきです。自分のシステムの期待値と損益比(risk-reward expectancy)を実取引の約定価格基準で測り直したうえで、その値を f* の式に入れてください。

half-Kelly が実戦の標準である理由は、成長率をほぼ守りながらボラティリティを半分に減らすからです

実戦で full-Kelly をそのまま使う運用者はまれです。多くは half-Kelly(full-Kelly の半分)かそれ以下を使います。比率を半分に減らすと、頂の曲線の非対称性のおかげで、損なう成長率は小さいのに、減るボラティリティは大きくなります。

数値で見るとこうなります。ケリーの頂は頂点付近で平らなので、ベット比率を半分に減らしても長期成長率は大きく減りません。前述の勝率55%・損益比1.5のシステムで、half-Kelly は full-Kelly の約75%の成長率を保ちます。

| 区分 | ベット比率 | ベット当たり成長率 | 資産曲線のボラティリティ |

|---|---|---|---|

| full-Kelly | 0.25 | 0.0457 | 基準 |

| half-Kelly | 0.125 | 0.0344 | 約半分 |

一方、資産曲線のボラティリティはベット比率にほぼ比例するため、半分近くまで小さくなります(ドローダウンはボラティリティよりさらに減る傾向があります)。成長率の4分の1を譲る代わりに、ボラティリティを半分に減らすわけです。推定誤差まで考え合わせると、この取引はさらに有利になります。p と b を甘めに見積もって full-Kelly が実際には頂点を越えた状態だったとしても、half-Kelly は依然として頂点に届かない安全な比率である可能性が高いからです。

ここでケリーの言う「最適」が何かを改めて押さえる必要があります。ケリー比率は成長率が最大になる地点を指し、この値は入力した勝率と損益比が正確なときにのみ意味を持ちます。full-Kelly だけでもドローダウンが十分に深く、運用を中断してしまうことがあります。ですから実戦ではその比率を目標にせず上限としてだけ置き、half-Kelly 以下で運用します。自分のシステムの破産リスク(risk of ruin)をケリー比率と half-Kelly 比率のそれぞれで計算してみると、二つの差がそのまま安全余裕になります。

ベットごとに損益比が変われば単一のケリー比率は成り立ちません

ケリー基準は、すべてのベットが同じ p と b を持つと前提します。トレードでは取引ごとに損切り距離と目標が違うため、b が毎回変わります。狭い損切りに遠い目標を置いた取引の b と、広い損切りに近い目標を置いた取引の b は、まったく異なる値です。

この点が重要なのは、取引ごとに異なる b を平均値ひとつにひとくくりにして単一のケリー比率を求めると、個別の取引ごとに適正比率から毎回ずれるからです。b が大きい取引では過小ベットになり、b が小さい取引では過大ベットになります。実戦ではケリー比率を資本の固定ベットサイズとしてそのまま適用せず、取引当たりのリスク一単位を決める基準として使います。一回の取引の損失リスクを資本の一定比率に固定したうえで、損切り距離に応じてポジションサイズを逆算すれば、b が変わっても取引当たりのリスクは一定に保たれます。

たとえば取引当たりのリスクを資本の1%に固定したとしましょう。2024年3月14日、BTCが史上最高値73,777ドルをつけた区間で、損切りを直前の構造的安値の下3%の位置に置くなら、ポジションサイズは資本の約33%になります(1% ÷ 3%)。同じ1%のリスクでも、損切りを1.5%の位置へ狭めればポジションは約66%へ倍になります。ケリー比率は、この取引当たりリスク1%を0.5%に減らすか1.5%に増やすかを決める上位の基準として置くほうが実戦に合います。取引ごとに損切り距離が違うなら、ケリー比率はポジションサイズとして見ず、取引当たりリスク比率の上限として解釈してください。

損益比1.5、勝率55%のシステムにケリーを適用するセットアップ

最も多い適用例をひとつ、最後まで解いてみます。バックテストと実取引の点検を経て、実取引基準で勝率55%、損益比1.5を確保したトレンドフォローのシステムにケリーを適用する手順です。すべての数字は実取引の約定価格基準で測った値でなければなりません。

• full-Kelly の計算: f* = 0.55 − 0.45/1.5 = 0.25。full-Kelly は取引当たりのリスクを資本の25%に置けという値であり、この値は実際のベットには適用せず上限基準としてだけ置きます。
• 実戦の比率: half-Kelly = 0.25 × 0.5 = 0.125。推定誤差を考えてここからさらに削り、取引当たりのリスクを資本の1%に固定します。1%は full-Kelly 25%の約4%に当たる保守的な比率です。
• ポジションサイズ: 取引当たりリスク1%を損切り距離で割って逆算します。損切りがエントリー価格から2.5%離れていればポジションは資本の40%(1% ÷ 2.5%)、損切りが1.5%なら約66%です。
• 利確: 目標損益比 1.5R に到達したら手仕舞います。エントリー価格から損切りまでが2.5%なら、目標価格はエントリー価格 +3.75%(2.5% × 1.5)の位置です。
• 引き上げ条件: 実取引50取引以上で測った勝率・損益比が入力値を保ち、破産リスク(risk of ruin)が1%未満のときにのみ、取引当たりのリスクを1%から1.5%へ一段上げます。
• 無効化: 実取引の勝率が50%を下回るか損益比が1.2を下回ったら、取引当たりのリスクをただちに0.5%へ下げ、入力値を測り直します。

このセットアップの核心は、full-Kelly 25%という数字を実際のベットに使わない点です。その数字は超えてはならない上限としてのみ存在し、実際の運用はその4分の1の地点で行われます。

ケリー比率は取引の独立性と同時ポジション数に応じてさらに削るべきです

ケリーの最後の仮定は、各ベットが互いに独立であるという点です。コイン投げは前の結果が次に影響しません。市場では同時に複数のポジションを持っているとき、それらのポジションが同じ方向へともに動くことが多くあります。

これがケリー比率をさらに削るべき理由です。BTCロングとETHロングを同時に持っていれば、二つの取引は独立ではありません。2021年11月10日にBTCが69,000ドルの高値をつけた後に始まった下落や、2022年のFTX破綻区間で、アルトコインはBTCとほぼ同じように動きました。各取引に独立を仮定したケリー比率を適用すると、実際の合算リスクは計算値より大きくなります。互いに相関の高い三つのポジションにそれぞれ full-Kelly を賭ければ、事実上ひとつの取引に full-Kelly の3倍を賭けたことになります。

実戦では、同時に保有するポジション全体のリスクの合計を、ひとつのケリー限度のなかで管理します。取引当たりリスク1%を決めたなら、相関の高いポジションのリスク合計がその限度を超えないよう、個別ポジションをより小さく取ります。保有資産間の相関をあらかじめ測っておけば、いくつのポジションが事実上ひとつのベットなのかを把握できます。チャートで複数の銘柄に同時にエントリーするとき、各ケリー比率を足す前に、それらの銘柄が同じ日にともに急落する確率からまず確認してください。その確率が高いほど合算ケリーはより多く減らすべきであり、そう減らした比率でこそ実戦で使えます。