OptiNod Academy

Xác suất phá sản — sizing mới là yếu tố quyết định tài khoản sống sót

Ngay cả khi tỷ lệ thắng và tỷ lệ lời/lỗ không đổi, tỷ lệ rủi ro mỗi lệnh càng lớn thì xác suất phá sản càng tăng vọt theo cách phi tuyến. Kỳ vọng có thể dương, nhưng sizing quá lớn sẽ khiến chỉ một chuỗi thua cũng đủ kéo tài khoản vào mức sụt giảm gần như không thể phục hồi.

> Xác suất phá sản được quyết định đồng thời bởi ba yếu tố: tỷ lệ thắng, tỷ lệ lời/lỗ và tỷ lệ rủi ro mỗi lệnh. *Ngay cả khi kỳ vọng dương, nếu tỷ lệ đặt cược quá lớn*, chỉ một chuỗi thua cũng có thể đẩy tài khoản vào mức sụt giảm không thể phục hồi.

Xác suất phá sản (Risk of Ruin) là xác suất vốn bị giảm xuống mức không thể phục hồi, ngay cả khi hệ thống giao dịch có kỳ vọng dương trong dài hạn. Đây là một khái niệm mượn từ lý thuyết cờ bạc, và có thể định nghĩa trong một câu: khi lặp lại vô hạn cùng một tỷ lệ thắng và cùng một tỷ lệ lời/lỗ, đó là xác suất vốn chạm 0 hoặc chạm một ngưỡng dưới đã định trước. Ba biến số cùng quyết định xác suất này là tỷ lệ thắng, tỷ lệ lời/lỗ và tỷ lệ rủi ro mỗi lần vào lệnh.

Cách hiểu phổ biến thường dừng lại ở kỳ vọng. Nếu lấy tỷ lệ thắng và tỷ lệ lời/lỗ để tính ra kỳ vọng dương, người ta cho rằng “cuối cùng vẫn sẽ kiếm được tiền”. Công thức kỳ vọng tiêu chuẩn không sai. Nhưng công thức đó giả định bạn có vốn vô hạn và số lần thử vô hạn. Tài khoản thực tế thì hữu hạn; một khi chạm 0, trò chơi kết thúc ngay tại đó. Đây là lý do nhiều trader vẫn phá sản dù đang nắm trong tay một hệ thống có kỳ vọng dương. Vấn đề thật sự nằm ở tỷ lệ rủi ro mỗi lệnh.

Bài viết này làm rõ ba điểm then chốt. Thứ nhất, với cùng một edge, xác suất phá sản tăng vọt theo một đường cong phi tuyến rất dốc khi tỷ lệ đặt cược lớn dần. Thứ hai, ngay cả với tỷ lệ thắng 50%, chuỗi 10 lệnh thua liên tiếp không hiếm về mặt thống kê; khi số lệnh đủ lớn, gần như chắc chắn sẽ có lúc nó xuất hiện. Thứ ba, drawdown lớn không thể được bù lại bằng mức lợi nhuận cùng tỷ lệ. Muốn phục hồi từ -50%, bạn cần +100%. Khi ba yếu tố này kết hợp với nhau, biến số quyết định khả năng sống sót thu hẹp về một thứ duy nhất: sizing.

Kỳ vọng dương vẫn có thể dẫn đến phá sản

Kỳ vọng dương chỉ nói về mức trung bình sau vô hạn lần lặp lại. Nó không bảo đảm rằng một tài khoản hữu hạn sẽ không đi qua mức 0 trước khi chạm được mức trung bình đó. Bài toán phá sản của con bạc (Gambler's Ruin) cho thấy cấu trúc này rất rõ. Nếu mỗi giao dịch mang lại hoặc lấy đi một đơn vị cố định, và trò chơi kết thúc khi vốn chạm 0, thì ngay cả khi tỷ lệ thắng cao hơn 50%, xác suất chạm 0 vẫn không hề nhỏ nếu vốn ban đầu thấp.

Hãy lấy ví dụ một trò chơi trả thưởng ngang bằng (Even Money), trong đó xác suất thắng cao hơn xác suất thua. Với tỷ lệ thắng 55% và tỷ lệ lời/lỗ 1:1, kỳ vọng của một giao dịch là dương. Khi quy đổi vốn thành các đơn vị rủi ro, xác suất phá sản có thể được xấp xỉ bằng cách lấy xác suất thua chia cho xác suất thắng, rồi lũy thừa theo số đơn vị vốn. Nếu mỗi lệnh rủi ro 2% vốn, tài khoản tương đương 50 đơn vị; khi đó xác suất phá sản giảm xuống 0.004%. Đây gần như là mức không xảy ra trong thực tế.

Giữ nguyên tỷ lệ thắng 55% và chỉ thay đổi tỷ lệ đặt cược. Nếu mỗi lệnh rủi ro 10%, vốn chỉ còn tương đương 10 đơn vị, và xác suất phá sản nhảy lên 13.4%. Nếu rủi ro 25%, vốn còn 4 đơn vị, xác suất phá sản lên tới 44.8%. Edge không đổi; chỉ tăng tỷ lệ rủi ro mỗi lệnh mà xác suất phá sản đã đi từ 0.004% lên gần một nửa. Việc kỳ vọng dương hoàn toàn không giải thích được khác biệt này. Có những vùng rất rõ ràng mà chỉ vì sizing, một hệ thống có kỳ vọng dương vẫn biến phá sản thành chuyện gần như tung đồng xu.

Cùng một edge, tỷ lệ đặt cược vẫn kéo xác suất phá sản tăng phi tuyến

Nếu xác suất phá sản chỉ tăng từ tốn theo tỷ lệ đặt cược, sizing đơn giản chỉ là một nút điều chỉnh giữa lợi nhuận và độ ổn định. Đường cong thực tế không như vậy. Vì cấu trúc lấy xác suất thua chia cho xác suất thắng rồi lũy thừa theo số đơn vị vốn, tỷ lệ đặt cược càng lớn thì xác suất phá sản càng tăng với gia tốc mạnh hơn. Ở vùng tỷ lệ nhỏ, đường cong gần như nằm sát 0 và khá phẳng; sau một điểm nhất định, nó bẻ lên mạnh và vọt cao.

Với tỷ lệ thắng 55% và trả thưởng ngang bằng, xác suất phá sản theo từng mức đặt cược cho thấy rất rõ tính phi tuyến này.

• Rủi ro 2%: vốn 50 đơn vị, xác suất phá sản khoảng 0.004%. Gần như bằng 0.
• Rủi ro 5%: vốn 20 đơn vị, xác suất phá sản khoảng 1.8%. Vẫn thấp.
• Rủi ro 10%: vốn 10 đơn vị, xác suất phá sản khoảng 13.4%. Đây là nơi đường cong bắt đầu bẻ lên rõ rệt.
• Rủi ro 20%: vốn 5 đơn vị, xác suất phá sản khoảng 36.7%.
• Rủi ro 25%: vốn 4 đơn vị, xác suất phá sản khoảng 44.8%. Gần như 50-50.

Khi tăng tỷ lệ đặt cược từ 2% lên 5%, tức gấp 2.5 lần, xác suất phá sản tăng từ 0.004% lên 1.8%. Nhưng khi tăng từ 10% lên 25%, cũng gấp 2.5 lần, xác suất phá sản tăng từ 13.4% lên 44.8%, tức nhảy thêm 31 điểm phần trăm. Cùng một mức tăng theo bội số, nhưng mức rủi ro tăng thêm hoàn toàn khác nhau. Càng đi về phía bên phải của đường cong, cái giá của mỗi bước tăng sizing càng đắt.

Nếu edge mỏng hơn, toàn bộ đường cong còn dốc hơn. Khi tỷ lệ thắng giảm xuống 52%, xác suất phá sản ở mức rủi ro 5% tăng từ 1.8% lên 20%, còn rủi ro 10% tăng từ 13.4% lên 44.9%. Điều này có nghĩa là hệ thống có edge càng mỏng thì biên an toàn cho sizing càng hẹp. Cùng một tỷ lệ rủi ro, một edge mỏng sẽ đẩy tài khoản về phía phá sản nhanh hơn nhiều.

Ngay cả tỷ lệ thắng 50%, chuỗi 10 lệnh thua cũng không hiếm

Đánh giá thấp chuỗi thua là điểm khởi đầu phổ biến nhất của overbetting. Nếu chỉ nhìn xác suất thua của một giao dịch riêng lẻ, chuỗi thua có vẻ rất xa. Nhưng với các giao dịch độc lập, xác suất của một chuỗi thua liên tiếp bằng xác suất thua lũy thừa theo số lần thua liên tiếp. Với tỷ lệ thắng 50%, xác suất thua một lệnh là 0.5; chuỗi 3 lệnh thua là 0.5 mũ 3, tức 12.5%; chuỗi 5 lệnh thua là 3.125%; chuỗi 10 lệnh thua là 0.098%. Nếu chỉ xem chuỗi 10 lệnh thua như một sự kiện đơn lẻ, nó có vẻ chỉ xảy ra 1 lần trong 1,024 lần và rất dễ bị bỏ qua.

Vấn đề là giao dịch không phải một sự kiện đơn lẻ. Khi số lượng lệnh tăng lên, xác suất để chuỗi thua xác suất 1/1,024 ấy xuất hiện ít nhất một lần ở đâu đó sẽ tăng rất nhanh. Với tỷ lệ thắng 50%, sau 100 giao dịch, xác suất xuất hiện ít nhất một chuỗi 5 lệnh thua là 81%, chuỗi 7 lệnh thua là 31.8%, và chuỗi 10 lệnh thua là 4.4%. Khi tăng lên 500 giao dịch, xác suất gặp chuỗi 10 lệnh thua trở lên tăng lên 21.5%. Với một trader giao dịch tích cực, chuỗi 10 lệnh thua là sự kiện có lúc sẽ gặp.

Ngay cả khi nâng tỷ lệ thắng lên 55%, vùng an toàn cũng không rộng hơn nhiều. Với tỷ lệ thắng 55%, sau 100 giao dịch, chuỗi 5 lệnh thua trở lên vẫn xuất hiện với xác suất 64.7%; sau 500 giao dịch, chuỗi 10 lệnh thua trở lên có xác suất 8.8%. Mức rủi ro chuỗi thua giảm được nhờ nâng tỷ lệ thắng thêm 5 điểm phần trăm thực ra nhỏ hơn nhiều so với trực giác. Nếu sizing không được thiết kế dựa trên chuỗi thua tệ nhất có thể xảy ra với tỷ lệ thắng của hệ thống, trader đang tự đặt mình vào vị trí mà một chuỗi thua nằm trong kịch bản thống kê cũng có thể kết thúc tài khoản.

Đây là nơi sizing và chuỗi thua gắn trực tiếp với nhau. Một trader rủi ro 25% vốn mỗi lệnh nếu gặp chuỗi 10 lệnh thua sẽ chỉ còn 0.75 mũ 10, tức 5.6% vốn. Về thực chất, tài khoản đã kết thúc. Cùng chuỗi 10 lệnh thua đó, nếu mỗi lệnh chỉ rủi ro 2%, vốn còn lại là 81.7%, drawdown dừng ở 18.3%. Độ dài chuỗi thua do hệ thống quyết định, nhưng việc chuỗi thua đó kết thúc tài khoản hay chỉ tạo ra một drawdown có thể chịu được lại do tỷ lệ đặt cược quyết định.

Drawdown không thể được bù bằng lợi nhuận cùng tỷ lệ

Tính bất đối xứng của việc phục hồi khiến xác suất phá sản càng dốc hơn. Khi vốn giảm theo một tỷ lệ nhất định, mức lợi nhuận cùng tỷ lệ sẽ không đưa tài khoản trở lại vốn ban đầu. Lý do là lợi nhuận được tính trên phần vốn đã bị thu nhỏ. Để phục hồi từ drawdown -10%, cần +11.1%; từ -20%, cần +25%; từ -30%, cần +42.9%. Đến đây, chênh lệch có vẻ chưa quá lớn.

Nhưng khi drawdown sâu hơn, mức lợi nhuận cần thiết tăng rất nhanh. Muốn phục hồi từ -50%, cần +100%; từ -75%, cần +300%; từ -90%, cần +900%. Một trader mất 90% vốn phải nhân 10 lần phần 10% còn lại mới quay về điểm xuất phát. Với cùng một edge ban đầu, đây gần như là một nhiệm vụ bất khả thi. Vì sự bất đối xứng này, một khi tài khoản rơi vào drawdown sâu, việc quay lại vốn ban đầu ngày càng xa về mặt thống kê, ngay cả khi hệ thống có kỳ vọng dương.

Một ví dụ thực tế trên thị trường cho thấy độ lớn của sự bất đối xứng này. BTC lập đỉnh 69.000 USD vào ngày 10 tháng 11 năm 2021, rồi giảm xuống 15.476 USD vào ngày 21 tháng 11 năm 2022. Đó là mức drawdown khoảng 78%. Để bù lại mức giảm 78% và quay về đỉnh cũ, BTC cần tăng khoảng 346% từ đáy. Cuối cùng BTC đã phục hồi được, nhưng khoảng thời gian cần thiết để phục hồi và phần vốn đã bị thanh lý hoặc cắt lỗ vì không chịu được drawdown 78% không thể tham gia vào quá trình phục hồi đó. Việc bản thân tài sản phục hồi và việc tài khoản nắm giữ tài sản đó phục hồi là hai chuyện khác nhau.

Khi sự bất đối xứng này kết hợp với sizing, rủi ro bị nhân lên. Một trader rủi ro 25% mỗi lệnh sau chuỗi 7 lệnh thua sẽ chỉ còn 13.3% vốn, và cần khoảng +649% để quay lại vốn ban đầu. Cùng chuỗi 7 lệnh thua đó, nếu rủi ro 5% mỗi lệnh, tài khoản còn 69.8% vốn và chỉ cần +43% để phục hồi. Tỷ lệ đặt cược quyết định độ sâu drawdown của chuỗi thua, và độ sâu đó lại quyết định mức độ khó của việc phục hồi theo cách bất đối xứng. Tăng sizing không chỉ làm drawdown lớn hơn, mà còn đồng thời làm giảm khả năng thoát khỏi drawdown đó.

Tiêu chuẩn Kelly là trần không nên vượt qua

Tiêu chuẩn Kelly (Kelly Criterion) đưa ra một tỷ lệ đặt cược nhằm tối đa hóa tốc độ tăng trưởng vốn dài hạn. Khi tỷ lệ thắng là p và tỷ lệ lời/lỗ là b, tỷ lệ tối ưu bằng p trừ đi xác suất thua chia cho tỷ lệ lời/lỗ. Với tỷ lệ thắng 55% và trả thưởng ngang bằng, tỷ lệ Kelly đúng bằng 10%. Ở tỷ lệ này, kỳ vọng tăng trưởng logarit trên mỗi giao dịch đạt cực đại. Cách hiểu phổ biến thường dừng ở đây và muốn áp dụng nguyên tỷ lệ Kelly.

Dùng nguyên tỷ lệ Kelly đúng là tối đa hóa tăng trưởng dài hạn, nhưng cái giá là biến động drawdown rất lớn. Một tài khoản giao dịch theo Kelly sẽ thường xuyên trải qua mức drawdown gần một nửa như một phần bình thường của quá trình. Trong thực chiến, drawdown đó rất khó chịu đựng về mặt tâm lý; chỉ cần ước tính tỷ lệ thắng hoặc tỷ lệ lời/lỗ lệch đi một chút, vị thế thực tế đã rơi vào vùng vượt Kelly. Vì vậy, trong vận hành thực tế, người ta dùng tối đa một nửa Kelly, tức Kelly phân số (Fractional Kelly). Nửa Kelly (5%) vẫn giữ tăng trưởng ở khoảng 75% so với Kelly đầy đủ, đồng thời giảm mạnh biến động drawdown.

Khi vượt Kelly, chính tốc độ tăng trưởng bắt đầu sụp đổ. Với tỷ lệ thắng 55% và trả thưởng ngang bằng, nếu tăng tỷ lệ đặt cược, tăng trưởng logarit trên mỗi giao dịch đạt cực đại khoảng 0.00501 tại tỷ lệ Kelly (10%). Ở nửa Kelly (5%), con số là 0.00375, vẫn giữ được phần lớn tăng trưởng. Nhưng ở mức gấp đôi Kelly (20%), tăng trưởng logarit chuyển sang âm. Chính tại điểm gấp đôi Kelly, tăng trưởng dài hạn cắt qua mức 0 và trở thành âm. Hệ thống vẫn có kỳ vọng dương, nhưng nếu tỷ lệ đặt cược vượt gấp đôi Kelly, vốn sẽ giảm trong dài hạn. Với những tổ hợp khác, chẳng hạn tỷ lệ lời/lỗ 2:1 và tỷ lệ thắng 40%, cấu trúc tăng trưởng cắt qua 0 quanh vùng gấp đôi Kelly vẫn tương tự.

Kết luận này trở thành chuẩn mực cho quyết định sizing. Tỷ lệ Kelly là trần không nên vượt qua, còn vận hành thực tế nên nằm ở mức một nửa Kelly hoặc thấp hơn. Nếu dựa vào việc kỳ vọng dương để đặt cược vượt Kelly, trader đang tự bước vào vùng mà dù có edge dương, tăng trưởng dài hạn vẫn trở thành âm.

Kiểm tra sizing — những mục cần xác nhận trước khi giao dịch

Quyết định giảm xác suất phá sản phải được hoàn tất trước khi giao dịch bắt đầu. Nếu chỉ sau khi thấy tín hiệu vào lệnh mới tính sizing thì đã quá muộn. Hãy cố định các mục sau thành quy tắc giao dịch.

• [ ] Giới hạn rủi ro mỗi lệnh: đặt số tiền có thể mất trong một giao dịch ở mức không quá 2% vốn. Tính đồng thời khoảng cách cắt lỗ và kích thước vị thế để khi giá chạm stop loss, khoản lỗ thực tế không vượt quá 2% vốn.
• [ ] Kịch bản chuỗi thua: tính trước số vốn còn lại nếu hệ thống của bạn gặp chuỗi 10 lệnh thua theo xác suất thua của chính nó. Với rủi ro 2%, sau 10 lệnh thua liên tiếp vẫn còn 81.7% vốn, drawdown dừng ở 18.3%. Hãy quyết định trước khi vào lệnh liệu bạn có chịu được mức drawdown đó hay không.
• [ ] Kiểm tra trần Kelly: tính tỷ lệ Kelly dựa trên tỷ lệ thắng và tỷ lệ lời/lỗ của bạn, rồi xác nhận tỷ lệ rủi ro thực tế không vượt quá một nửa con số đó. Nếu tỷ lệ thắng là 55% và trả thưởng ngang bằng, Kelly là 10%, vì vậy rủi ro thực tế nên ở mức 5% hoặc thấp hơn.
• [ ] Sai số trong ước tính edge: tỷ lệ thắng và tỷ lệ lời/lỗ đều là ước tính, nên có thể lạc quan hơn thực tế. Trừ 3-5 điểm phần trăm khỏi tỷ lệ thắng ước tính rồi tính lại Kelly và xác suất phá sản, để kiểm tra xem tỷ lệ đang dùng có còn an toàn trong trường hợp thận trọng hơn hay không.

Những tình huống làm vô hiệu quy tắc sizing

Các mục kiểm tra trên chỉ đúng trên một tiền đề: mỗi giao dịch độc lập với nhau, và tỷ lệ lời/lỗ cũng như tỷ lệ thắng tương đối ổn định. Khi tiền đề này bị phá vỡ, cùng một mức sizing cũng trở nên nguy hiểm hơn.

Trường hợp thứ nhất là các giao dịch không độc lập. Nếu bạn đồng thời nắm nhiều vị thế cùng hướng, về bản chất chúng là một cú đặt cược lớn. Nếu đặt rủi ro 2% cho BTC long, 2% cho ETH long và 2% cho SOL long, bạn đang đặt 6% vốn vào cùng một hướng thị trường. Khi thị trường giảm đồng loạt, cả ba vị thế có thể cùng chạm stop loss. Với các vị thế có tương quan cao, cần cộng gộp rủi ro và quản lý sao cho tổng rủi ro không vượt giới hạn của một giao dịch đơn lẻ.

Trường hợp thứ hai là tỷ lệ lời/lỗ bị thổi phồng so với thực tế. Tỷ lệ lời/lỗ trung bình trong backtest sẽ giảm sau khi trừ trượt giá và phí; nếu vài giao dịch thắng lớn kéo trung bình lên, trung vị có thể thấp hơn nhiều. Nếu tính Kelly dựa vào trung bình này, tỷ lệ nhận được sẽ lớn hơn thực tế, và vị thế thực tế bị đẩy sang vùng vượt Kelly. Vì vậy, tỷ lệ lời/lỗ cần được xem cùng với toàn bộ phân phối, gồm cả giá trị trung vị.

Trường hợp thứ ba là tỷ lệ thắng thay đổi theo thời gian. Một hệ thống trend following chỉ hoạt động tốt trong thị trường có xu hướng có thể bị giảm mạnh tỷ lệ thắng trong giai đoạn đi ngang. Nếu dùng sizing tính từ tỷ lệ thắng của thị trường có xu hướng cho giai đoạn đi ngang, bạn đang đặt cược vượt Kelly trong chính giai đoạn đó. Trước hết cần xác định thị trường hiện tại có phải là môi trường mà hệ thống của bạn hoạt động hiệu quả hay không; nếu không, hãy giảm tỷ lệ đặt cược hoặc ngừng giao dịch. Xác suất phá sản được tạo nên bởi khả năng chuỗi thua tích lũy trong khi bạn lặp lại sizing sai; và biến số có thể kiểm soát khả năng đó cuối cùng chỉ là tỷ lệ rủi ro mỗi lệnh.